حدس گلدباخ, یکی از قدیمی‌ترین مسئله‌های حل نشده ریاضی

مسائل و قضایای بسیاری در ریاضیات مطرح شده است که باوجود اینکه ساده به نظر می رسند، اما تاکنون حل نشده اند و از مسائل حل‌نشدنی به حساب می آیند. یکی از این مسائل ثابت نشده‌ در سال ۱۷۴۲ میلادی توسط کریستسان گلدباخ، ریاضیدان و تاریخ شناس اهل پروس عنوان شد. براساس حدس گلدباخ، هر عدد بزرگتر از پنج را می توان همواره به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.

اما بعدها ریاضیدان دیگری به نام لئونارد اویلر، حدس ‌گلدباخ را به صورت دیگری بیان کرد؛ به شکلی ظاهرا متفاوت که در واقع به لحاظ ریاضی با بیان گلدباخ هم‌ارز است و آن را حدس قوی گلدباخ نامید. براساس حدس قوی گلدباخ هر عدد زوج بزرگتر از دو را همواره می توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت.

۵۲=۵+۴۷= ۱۱+۴۱= ۲۳+۲۹

۵۴=۷+۴۷=۱۱+۴۳=۱۳+ ۴۱=۱۷+۳۷=۲۳+۳۱

۵۶=۳ +۵۳= ۱۳ + ۴۳=۱۹=+۳۷

۵۸=۵ +۵۳= ۱۱ + ۴۷= ۱۷ +۴۱= ۲۹ + ۲۹

۶۰=۷ +۵۳= ۱۳ + ۴۷= ۱۷ +۴۳= ۱۹ +۴۱=۲۳ +۳۷

۱۰۰ = ۳ + ۹۷ =۱۱+۸۹ = ۱۷+۸۳ = ۲۹+۷۱= ۴۱ + ۵۹

نتایج یک پژوهش در سال ۲۰۱۴ نشان داد که حدس گلدباخ برای همه اعداد زوج کوچکتر از ۴ × ۱۰^۱۸ درست است.

اثبات حدس گلدباخ:

جالب اینکه با گذشت بیش از ۲۷۰ سال از این حدس حتی قوی ترین ابررایانه ها هم هیچ نقضی که صحت این حدس را زیر سوال ببرد، پیدا نکرده اند. و هنوز هیچ ریاضیدانی موفق به اثبات آن نشده است و اثبات حدس گلدباخ به یکی از چالش‌های مهم ریاضیدانان تبدیل شده است. در سال ۱۹۹۲ میلادی کتاب داستانی توسط یکی از موسسات انتشاراتی مشهور با عنوان عموپتروس و حدس گلدباخ منتشر شد که در آن تاریخ ریاضیات در قالب داستانی جذاب شرح داده شد. چند سال بعد از انتشارات آن برای تبلیغ و فروش بیشتر این کتاب جایزه‌ای یک میلیون دلاری برای کسی که از تاریخ ۲۰ مارس ۲۰۰۰ حداکثر به مدت دو هفته موفق به اثبات حدس گلدباخ شود تعیین کردند. اما بعد از اتمام تاریخ و حتی پس از آن و تا کنون هم هیچ ریاضیدانی موفق به اثبات این حدس به ظاهر آسان نشده است.

نزدیک شدن به اثبات حدس گلدباخ:

در سال ۱۹۶۶ چن‌جینگ‌ران، ریاضیدان چینی، ثابت کرد که هر عدد زوج به اندازه‌ی کافی بزرگ را می‌توان به صورت مجموع یک عدد اول و عدد دیگری که برابر حاصل ضرب دو عدد اول است. بنابراین دنیای ریاضیات یک قدم به اثبات درستی حدس گلدباخ نزدیک‌تر شد. در سال ۱۹۹۵ هم یک اولیور رامار، ریاضیدان فرانسوی ثابت کرد که هر عدد زوج بزرگتر یا مساوی ۴ را می‌توان به صورت مجموع شش عدد اول نوشت. در سال ۱۹۳۱ اشنیرلمان (۱۹۰۵-۱۹۳۸) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود، موفقیت مهمی در این زمینه به‌دست آورد که برای همه ریاضیدانان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۳۰۰۰۰۰ عدد اول نمایش داد. هرچند این نتیجه در مقایسه با اثبات حدسیه گلدباخ خنده دار به نظر می‌رسد، اما این نخستین قدم در جهت حل آن بود. بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی‌، لیتلوود و همکار هندی برجسته آن‌ها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد‌، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از ۳۰۰۰۰۰ به چهار کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیک‌تر است، ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان ۳۰۰۰۰۰ و ۴ باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح به اندازه کافی بزرگ ثابت شده است؛ به بیان دقیق‌تر، او ثابت کرد عدد صحیح N وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر ۴ عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و برخلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است.

شاید حل نشدن این مسئله به این خاطر باشد که با اعداد اول سر و کار دارد. زیرا خود مجموعه اعداد اول نیز ساختار جبری معینی ندارد.
در سال ۱۷۴۲ گلدباخ طی نامه‌ای به اویلر می‌نویسد: ” به نظر می‌رسد که هر دو عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را بتوان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.” این ادعای گلدباخ به حدس گلدباخ شهرت یافت و در این دو نیم قرن اخیر پایه و موضوع تحقیقات گسترده‌ای شده‌است.هاردی ریاضیدان برجسته انگلیسی تصریح می‌کند که حدس گلدباخ یکی از دشوارترین مسائل حل نشده ریاضیات است.

 گلدباخ حدس زد که هر عدد فرد بزرگ‌تر از ۷ را می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.هر چند که این مساله هنوز باز است اما وینوگراف در سال ۱۹۳۷ نشان داد که برای همه اعداد فرد مثبت به اندازه کافی بزرگ این قضیه درست است ولی اندازه کافی را تعریف نکرد. شاگرد آن برودزین اثبات کرد که عدد ۳۱۴۳۴۸۹۰۷ به اندازه کافی بزرگ است (این عدد ۶۸۴۶۱۶۹ رقم دارد!). در سال ۲۰۰۲ دو ریاضی دان این عدد را به حدود کاهش دادند. یعنی اگر برای اعداد کوچکتر از آن درستی قضیه چک شود، اثبات کامل می‌شود ولی این کار از عهده کامپیوترهای فعلی برنمی آید.

منابع:رشد،ویکی پدیای فارسی و ریاضی سرا